В брони написано «ранний заезд», а отель мутно ответил, что посмотрят, если будут места... Приезжаю где-то к 11, могу я что-то требовать?

Ну obviously нет. Если мест нет, как они вас заселят?

Если свободных номеров нет, ведь выезд до 12, то каким образом вас заселят раньше 11? Кого-то выгонят что ли?

Только если ваш номер свободен, и за это доплатить. Все приезжают раньше и ждут.

Требовать вряд ли получится. Дадут по готовности номера. Оставьте вещи на рецепшн и идите гулять по городу. Потом вернётесь и спокойно, без нервотрёпки, заселитесь.