Должен ли арендодатель предоставлять оригинал блюкард от байка арендатору, да и нужно ли он вообще?

Нет.

Нет, тут во Вьетнаме схема для не граждан такая, что если у тебя карта, то ты владелец.

Нет, не должен. Все равно с ним ты ничего не сможешь сделать, а если заберут на стоянку, то только арендодатель и сможет забрать. Точнее пусть лучше он сам забирает, ибо он договориться может и за бесплатно.