Когда беру байк в аренду, что предпочтительнее оставить — копию паспорта или депозит?

Вы, наверное, оригинал имеете в виду, а не копию? Лучше и депозит, и копию паспорта.

Депозит) бывает, рентал закрывается в самый неподходящий момент (например, вам на самолёт), и тогда без паспорта потеряете больше.