Когда муж с женой идут продлевать визу, может ли один из них подать документы за другого? И какие-то бумаги для этого нужны?

С собой надо свидетельство о браке, нотариально заверенный перевод, если Россия или Беларусь, и апостиль, если что-то другое.

Да ничего не нужно. Просто подать документы и сказать It is my wife.