Если тайская симка в телефоне, уведомления о зачислениях итд не приходят с банков? Даже если только пуш включить? Имею ввиду с российских банков.

Если пуш подключен - у нас приходят, Газпром, тинькофф. Зачисления списания.

Для пушей нужен интернет, независимо от сумки. Для смс, естественно, нужна та симкарта, к которой привязан ваш российский номер.