Если воспользоваться продлением визы, а через несколько дней улететь в другую страну, проблем не возникнет?

Возникнут. Вы в продлении пишете 'бида бида' и улетаете. Виза закрыта. Дальше по новой 15 дней / евиза - это у вас проблема или нет?

Продление аннулируется, насчет повторной подачи пока конкретной инфы тут не встречал.