есть ли на Патонге ведомство, которое выдаёт водительские права?

Нет, только транспортный департамент в Phuket Town или как там этот район. Ну в общем департамент такой один)

Provincial Transport Office Phuket, но там очередь огромная и условия сдачи суровые. Можно попроще все это сделать, воспользовавшись услугами одной из автошкол, если надо, могу порекомендовать хорошую.