имеется ли на Патонге контора, где права водительские выдают?

Не, только транспортный департамент в Phuket Town или как этот район называется. Короче, департамент такой один)

Provincial Transport Office Phuket, но там очередь ого-го и сдавать сложно. Можно это всё попроще обстряпать через одну из автошкол, если нужно, могу хорошую подсказать.