Есть ли русскоязычные педиатры на Пхукете? В какую клинику обращаться?

Нет.

при обращении в госпиталь по страховке, можете сказать, что вам необходим переводчик. во многих больницах они есть

И переводчики есть и педиатры пользуются Гугл переводчиком