Где можно снять жильё на Фукуоке на месяц не очень дорого с двумя детьми, желательно дом, может сайты есть, где можно посмотреть?

Сайтов нет. Все фото, которые впм покажут, скорее всего, не будут соответствовать действительности. Лучший вариант - смотреть самому на месте.