Как по идее оформляется регистрация в жилье для иммигранта?

Для иммигрейшен вообще никак не должна. Это арендодатель обязан вас зарегистрировать в иммигрейшен. И квиток выдадут, если попросить.

Как правило, это распечатка с сайта, где владелец жилья должен вас зарегистрировать. Ваши данные там должны присутствовать.