Как должна выглядеть регистрация в жилье для иммиграшки?

Для иммигрейшен никак не должна. Арендодатель вас должен зарегистрировать в иммигрейшен. И квиток дадут, если спросить.

Обычно это распечатка с сайта где владелец жилья должен вас зарегистрировать. Там должны быть ваши данные.