Когда визу в первый раз продлевал, оригинал регистрации забрали — надо ли опять оформлять регистрацию в полиции для следующего продления?

Да. В Фантьете можно просто показать распечатку с сайта. Без всякого заверения в полиции. Миграционная сама проверяет, верные ли данные ты дал.