Кто азуром в Москву летал, можно не брать корзину с фруктами, а просто фрукты в ручной клади провезти???

Без вопросов можно. В пакете или сумке.

Нам заявили нельзя. Просто я не разобралась, где на сайте эту опцию с корзиной докупать.

По-разному выходит, порой спокойно пропускают как ручную кладь. Порой заставляют как багаж оформлять. На сайте азура можно докупить функцию корзинки и в багаж её сдать.