Кто делал отверстие, какие документы надо принести в миграционный центр? Какой пакет документов требуется?

Только пакет с бабками. Пакет документов не нужен. Можно показать билет на вылет, если есть - это будет маленький плюс.

В идеале какую-нибудь бумажку с печатью, где объясняется причина задержки, типа лечение болезни, обязательно билет на вылет и конечно запастись терпением и Деньгами.

Если отверстие небольшое и есть билеты на вылет, то можно попробовать получить эксит визу в миграшке бесплатно. В аэропорту не советую - могут тянуть время и вымогать деньги, пока ваш самолет заканчивает посадку.