Кто в курсе, в паспорте места для штампов уже нет, вскоре иду подавать на новый. там выдают какой-то вкладыш, куда печать могут шлёпнуть, пока новый паспорт не готов? Продление следующее в конце июля.

Если паспорт РФ — то ничего не выдают. Подавать надо заблаговременно. Бегите не «вскоре», а уже на этой неделе и на пятилетний, чтобы до конца июля успеть. И то не факт. У некоторых стран, к примеру Казахстана, есть что-то вроде временного паспорта на год.

Вообще совсем ничего... максимум дадут бумагу, что новый паспорт изготавливается, но штамп в эту бумагу на продление вы не поставите.