Могу ли я купить билеты ещё по действующему паспорту который истечёт через 2 месяца! Но поехать уже с новым? Qatar Airways.

Нет. Либо потом платить за изменения данных.

Смотря где будете покупать. Если на сайте авиакомпании, то там номер паспорта вообще вводить не надо. Номер паспорта только в РФ и Вьетнаме просят.