Можно ли взять билеты по паспорту, который истекает через 2 месяца, а полететь уже с новым? Qatar Airways.

Нет. Или потом доплачивать за смену данных.

Зависит от того, где брать будете. Если на сайте самой авиакомпании, то номер паспорта там вводить не требуется вообще. Паспортные данные только в РФ и Вьетнаме спрашивают.