Можно ли по улице ходить без паспорта? Будут проблемы? Если у меня есть скан на телефоне, то этого достаточно?

Никаких, если не будете совершать поступки, привлекающие внимание граждан и полиции. Скан/фото паспорта и штампа - рекомендуется иметь на всякий случай, чтобы упростить маловероятную, но возможную чрезвычайную ситуацию.