мы не из России, и нам не надо продлевать визу во Вьетнаме. Нас интересует, в каком случае владелец квартиры обязан регистрировать жильцов в полиции?

Владельцы квартир должны регистрировать жильцов вне зависимости от продления визы. А что вас так пугает оставить копии паспортов? Если будете брать байк в аренду, их тоже попросят. Ну на крайний случай договоритесь, чтобы просто переписали ваши данные из документов.