Собираемся приехать на 2–3 месяца (ещё не определились), обратный билет в пределах 60 дней, но его можно переоформить. Надо ли по прибытии регистрироваться в иммиграционке?

ТМ-30 должна оформить хозяйка, вам для этого в иммиграционку идти не требуется. Да вы и не сможете — там нужны её удостоверение и документы на собственность

Нигде вам отмечаться не нужно. Это для долгосрочных виз. Форма ТМ-30 (или её аналог от частного лица) — не ваша забота. Приезжайте и спокойно отдыхайте.

Ну если всё-таки решите остаться на 3 месяца, то для продления на 30 дней в иммиграционке попросят ТМ30. А если ровно 60 дней пробудете, то не стоит забивать голову и думать о регистрации по месту жительства. Хозяйка может сделать регистрацию и без вас. Ваше личное присутствие для этого не обязательно.