От миграционной карты оторвался маленький кусочек, подскажите, что делать? Проблемы в аэропорту будут?

Не будет. На месте новую заполните.

Нет. Попросите карточку на стойке регистрации — должны выдать без вопросов. Заполните и пойдете на миграционный контроль.