На Пхукете, когда байк берёте они ксерокопию себе делают и отдают обратно, я правильно понимаю?

Да. Если просят паспорт в залог, оставлять не надо. Просто идите в друго прокат. Кстати, в этот раз у меня даже МВУ попросили отксерить.