На Пхукете для счёта в банке письмо из посольства прям обязательно? Или можно просто в другой банк податься, где не просят?

Можно и в другой банк обратиться, только для этого нужна "длинная" виза, хотя бы студенческая.

Там указано — один из документов: письмо из посольства, выписка из российского банка и т. д. Выписка подходит.