Насколько обязательно всегда носить паспорт с собой? Часто ли его проверяют и что грозит, если поймают без него?

Да ничего не будет. Его вообще никто и никогда не спрашивает.

Совсем не нужен. Держите его дома, как зеницу ока. Нужен только когда летишь, едешь на поезде или заселяешься в новое жильё. Дома храните бережно, лучше среди книг и обязательно в обложке. В здешней влажности обложка самого паспорта часто коробится и покрывается плесенью, если просто кинуть его на полку и забыть на пару месяцев.