Насколько критично везде и всегда таскать с собой паспорт? Часто ли проверяют и что будет, если поймают без него?

Да ничего не будет. Его никто никогда не спрашивает.

Вообще не нужен. Храните дома, как зеницу ока. Нужен только при перелётах, поездках на поезде и заселении в новое жильё. Дома храните аккуратно, желательно между книг и обязательно в обложке. В местной влажности обложка самого паспорта часто скукоживается и плесневеет, если его просто бросить на полку и забыть на пару месяцев.