Не подскажете, какой самый быстрый способ оформить визу в Москве и как получать approval letter? Она же на один въезд в страну, а мне нужно на несколько.

Оформляйте несколько виз. Либо через бизнес визы с помогаторами. Результат - неизвестен. Либо как альтернативный вариант - гоняйте с 15 дневным штампом. Опыт людей показывает, что по нему можно неограниченное количество раз пересекать границу.