Подскажите, как быстрее всего сделать визу в Москве и получить approval letter? Она ведь однократная, а мне надо многократную.

Делайте несколько виз. Или через бизнес-визы с помощниками. Итог — неясен. Или как вариант — катайтесь с 15-дневным штампом. Люди говорят, по нему можно пересекать границу сколько угодно раз.