Обязательно ли носить в иммиграционку бумажку о месте проживания? За какой срок это надо сделать? На границе вообще ничего не выдали, никаких документов.

Отель или хозяин квартиры должен вас зарегистрировать в системе (как у нас это делается). Уточните у них, сделали ли они это.

Если находитесь без выезда 90 дней, нужно делать 90days report, если меньше трёх месяцев без выезда — ничего не требуется.