Можно ли подать на евизу, находясь во Вьетнаме, потом выехать и въехать после одобрения? Или обязательно подавать из-за пределов Вьетнама? Как это вообще проверяют?

Нельзя. Только через агентов. Схема такая: идёте к ним, они всё заполняют за вас, вы выезжаете, ждёте пару часов на границе, пока пришлют визу, и сразу обратно. Если сами подаёте, могут кучу раз анкету на доработку отправлять. В итоге визу получите ох как не скоро.