Есть ли в Бангкоке дерматолог, говорящий по-русски, который может выписывать лекарства?

Нет таких) Русскоязычных врачей тут не бывает, в госпиталях есть переводчики. Насчёт лекарства можно спросить в аптеке, скорее всего дадут и без рецепта.