Как добраться с Каты до Патонга, подскажите?

Либо такси, либо взять в аренду машину/байк.

Скачайте приложение Такси болт.

Smart bus phuket — автобусы ездят в оба направления (маршрут у них от аэропорта до Равай и назад). Одна поездка 100 бат. Гляньте в инете, у них сайт есть, там и расписание, и остановки на карте отмечены.