Как кататься туда-сюда по визе на 3 месяца, если в паспорте нет штампа? Если автобусом пересекать — штамп поставят? Реально это как-то объехать или нет?

Когда границу переезжаешь, отметку в паспорт всё равно влепят (ну, если только границу нелегально не пересекать)

Ну... самый очевидный способ — другой паспорт использовать. Если он имеется