Можно ли приобрести билет на Air Arabia в Паттайю без загранпаспорта и потом дооформить после получения?

Взять-то можно, но не стоит. )

Если на сайте Air Arabia оформлять, то загран при покупке не спрашивают, только когда на рейс регистрируешься

Да, можно, но имя и фамилию надо вписать точно как в загранпаспорте.