Подскажите, на рейсе Москва-Хошимин-Фокуок нужно получать багаж в Хошимине? Или его автоматом на следующий рейс передают?

Вообще в Хошимине международный терминал и внутренний рядом находятся и не связаны. Возможно, что-то уже изменилось, хотя сомневаюсь. В любом случае на стойке регистрации в Москве вам скажут точно.

У вас бронирования разными авиакомпаниями наверняка же? Если авиакомпании разные, и брони билетов разные, то багаж вы получаете и заново потом регистрируете уже на другой рейс

Нужно. Поэтому закладывайте на пересадку минимум 2,5ч