По ТМ30 в Таиланде — после регистрации какая-то бумага на руках должна остаться или в паспорте, что подтверждает регистрацию?

Может быть, но не факт. Из личного кабинета распечатывается, если надо — попросите у арендодателя или в отеле.

Да, или скриншот, или pdf. Если нужно/хочется — распечатываете.