Подскажите, пожалуйста. А при аренде байка в Таиланде какие-то документы на него дают?

Нет. Гринбук остается у арендодателя. У вас есть копия договора аренды и все

Договор, копия гринбука обычно есть. Ну и талон техосмотра.