Скажите, а когда байк в Таиланде берёшь в аренду, какие-нибудь бумаги на него выдают?

Нет. Гринбук у того, кто сдаёт, остаётся. У вас копия договора аренды и всё

Договор, копия гринбука как правило имеется. И талон техосмотра ещё.