Кто-нибудь может подсказать, есть ли у кого опыт с оформлением страховки здесь? Где лучше? И реально ли обратиться, скажем, на следующий день после оформления?

Я оформлял через сбер, претензий нет, даже МРТ оплатили. Если вы уже находитесь в Тае, то надо ставить фильтр «уже путешествую». При таком фильтре страховка начнёт действовать примерно через 4 дня после покупки.

Вообще, если оформляешь страховку уже в поездке, то она вступает в силу где-то на пятый день, плюс-минус. Но даже если бы, чисто теоретически, она начиналась как вам надо на следующий день, всё равно ничего бы не покрыли. Потому что там тоже не идиоты сидят. И если докажут, что вы заболели раньше, то платить придётся самому — хоть на следующий день, хоть на пятый.