Посоветуйте какую-нибудь частную клинику на Пхукете, ну или вообще любую?

Bangkok Hospital в Пхукет-тауне.

Если страховка имеется, то можно позвонить в сервисную компанию, там подскажут как быть в вашей ситуации.

Ну а если страховки нет, то варианты — Bangkok Hospital Siriroj либо Bangkok Hospital Phuket, оба в Пхукет-тауне, довольно приличные.