Скажите, а доллары 2003 года на Фукуоке принимают к обмену? Или они идут дешевле, чем новые?

Меняют, но курс чуть ниже, где-то на 1-1,5%. Хотя в большинстве обменок (в Москве по крайней мере) новые продают на пару рублей дороже, так что ещё неизвестно, что выгоднее — кататься по городу в поисках новых, которых почти нигде нет. Берите любые доллары, не заморачивайтесь. В итоге примерно одно на одно выйдет.