Скажите, если на Booking.com забронировать отель и оплатить картой, которая оформлена не на меня, нужно ли при заселении показывать эту карту?

Не нужно. Чтобы подстраховаться: после выбора номера и подтверждения — на первом шаге вводите данные того, кто платит, на втором меняете имя гостя, на третьем оплачиваете. Так выходит, что оплата сделана за другого человека.