Подскажите, можно ли взять билеты на старый загранпаспорт (скоро заканчивается), а лететь по новому (ещё не получила)? Так прокатит? Проблем не возникнет?

Да, будет проблема: номер документа обязан совпадать. Уточните в авиакомпании, какие есть варианты правки данных. Я сыну в S7 меняла из-за ошибки в номере через поддержку — бесплатно, а в аэропорту на их стойке это делают за деньги.

Если вообще есть услуга смены номера паспорта. Часто её просто нет или она слишком геморройная. Оман подойдёт, у них при покупке номер не нужен, вбивается при регистрации на рейс. Но всё равно заранее уточните у авиакомпании.