Скажите, если отель забронирован частным образом по телефону (вотсап), нужен ли будет какой-то номер брони где-нибудь? Например, при заполнении карты по прилёту? Обязаны ли они его дать?

Ясное дело, номер брони должен быть. Бронируете же на конкретное имя. При заселении паспорт спросят.

А почту при бронировании не оставляли? Обычно на почту приходит номер бронирования и вся информация по нему (По крайней мере у меня всегда так). Вы через кого бронировали? Предоплата была?