Скажите, это в порядке вещей, когда при аренде квартиры требуют депозит за 1 месяц для брони и подписания договора, а потом ещё депозит за 2 месяца при заселении?

Да, всё так, обычно сразу оплачиваешь первый месяц проживания и при подписании вносишь депозит за 2 месяца.

До подписания договора ничего платить не надо! При заключении договора вносится 2 месячных арендных платежа + оплата за первый месяц.

Пару раз так было, эти деньги потом шли в депозит или за 1 месяц, на них отдельный договор составляют.

Нормально. Это обычная практика для брони жилья. Но вам должны выдать инвойс-расписку-чек о передаче денег, который вы и риелтор оба подписываете при передаче денег, с копиями ваших айди.