Подскажите, пожалуйста, это нормально, что при аренде квартиры просят внести депозит за 1 месяц для бронирования квартиры и заключения договора и после депозит за 2 месяца при заселении?

Да всё верно, обычно сразу платишь за первый месяц проживания и при подписании вносишь депозит 2 за месяца.

До заключения договора платить ничего не нужно! При заключении договора платится 2 месячных арендных платежа + платеж за первый месяц.

Пару раз было такое, этот платежи потом шел в депозит или за 1 месяц, на него отдельный договор заключается.

Нормально. Это стандартная практика для брони жилья Но вам должны составить инвойс-расписку-чек о передаче денег который вы и риелтор должны оба подписать при передаче денег с копиями айди ваших.