Куда конкретно на такси подъехать в Старом Пхукете, чтобы погулять по воскресному рынку и осмотреть старый город? И в какое время лучше отправиться? Ещё подскажите, где можно вкусно и с атмосферой поужинать?

Да без разницы, куда именно. Райончик там довольно компактный. Лучше всего приехать часов в пять — тогда успеете посмотреть и при дневном свете, и потом уже в ночном. А мест, где вкусно поесть и атмосфера классная, там полно.