Летим в Нячанг, пересадки в Пекине и Гуанчжоу. Прокатит ли русская справка от врача, чтобы протащить шприц в ручной клади и ампулы, если у ребенка вдруг аллергический приступ?

Навряд ли они вообще станут эту справку читать. Везете — и все, шприц и ампулы им до фени.

Если справка и понадобится, то точно не на русском, а на английском

Одну иглу берите с собой, остальные в багаж, и нормально! Даже без справки.

У меня заставили выбросить шприц, сказали, что на борту шприцы имеются

Вам надо написать в авиакомпанию-перевозчика, они либо сами проконсультируют, либо скажут, к кому обратиться. Я пару лет назад в Пекине видел пару, у них тоже какая-то проблема была, они транзитом летели. Тогда при транзите даже в город не выпускали, но их выпустили, потому что им надо было укол сделать и отдохнуть. Пишите в авиакомпанию или на customs.gov.cn