Подскажите, пожалуйста, лучший полный месяц для отдыха на Фукуоке - июнь или август? чтобы было менее влажно и жарко.

Эти оба месяца совсем не подходят по ваши критерии, в мае заканчивается сезон. В июне уже дожди и влажно, а в августе прямо пик несезона, мах количество осадков и пасмурных дней.