Можно ли приехать во Вьетнам по 15-дневному штампу и потом остаться на месяц по e-visa, не выезжая в другую страну? Или всё же придётся выехать и заехать снова?

Не выезжая — никак. Но на данный момент есть вариант: сначала заехать по штампу на 15 дней, а после этого в иммиграционке бесплатно продлить его ещё на 3 месяца, если ты гражданин России.