Скажите, нужно ли обязательно оформлять регистрацию по адресу проживания (ТМ-30), если живёшь у друзей? Когда её вообще могут проверить? Что будет, если не сделать?

Если пойдёте визу продлевать или штамп ставить - там попросят. В принципе, если в госорганы не собираетесь обращаться - можно и не делать, но штраф 1600, если попадётесь.