Подскажите, пожалуйста, дальше летим на Фукуок, какой район лучше взять? Чтобы с детьми купаться нормально было и чтобы куда-то выезжать можно?

Берите западное побережье. Для детей любой пляж там подойдёт. А вот на восточном волны сильные. Центр города — тоже вариант: и пляжи, и магазины, всё пешком рядом.