Подскажите, забронировали отель на букинге чужой картой. Могут ли при заселении попросить показать карту, которой оплачивали?

Ни разу не видел, чтобы просили. Только если с оплатой косяк выйдет, тогда попросят на месте заплатить.

Нет, карту не спрашивают, только паспорт того, на кого бронь.