Подскажите, права на байк реально получить на Пхукете самостоятельно? Или только через кого-то?

Реально.

А почему нет? Просто не доверяйте приложению с электронной очередью, а идите напрямую в транспортное, там скажут какая сейчас реальная очередь. В электронной все всегда занято на месяцы вперёд, видимо контрагенты стараются.