Можно ли самому получить права на байк на Пхукете? Или только через посредников?

Можно.

А что мешает? Только не полагайтесь на приложение с электронной очередью, идите сразу в транспортное, там подскажут, какая на самом деле очередь. В электронной всегда всё забито на месяцы вперёд, видимо контрагенты стараются.