Получил новый загранпаспорт, в старом (срок действия менее 6 месяцев) пока есть вьетнамская виза на август. Как путешествовать? Могу летать по новому чистому? Или какие-то действия необходимы со старым ещё?

По идеи вам должны были последние визу перенести в новый. А так прийдется и старый таскать.

Если у вас старый паспорт действителен (не аннулирован и не просрочен), то главное вам нужно его показать вьетнамским пограничникам когда будете уезжать из Вьетнама (потому что в нём штамп стоит) а пограничникам другой страны уже показывайте новый.