После того как активирую eSIM, мессенджеры продолжат работать на российском номере? И как поступить со своей симкой? Выключить мобильные данные в настройках?

Именно так.

Работать будут. На российской симке главное, чтоб роуминг был отключён (если она в телефоне останется). Если уезжаете надолго и не собираетесь тариф оплачивать и вообще тратить деньги на ру симке — нужно позаботиться, чтобы номер не заблокировали.