Если по новому бордерану остаешься жить по тому же адресу — надо ли заново регистрироваться? И что будет, если не сделать?

Нужна новая, старая аннулируется как только вы выедете.

Придется. Когда снова обратитесь в иммиграшку за услугами — влепят штраф за то что регистрации нет.